Prof. Dr. Helmut Hasse Marburg-Lahn, den 24. März 1931

Weissenburgstr. 22

Fernruf 404

Ich denke, es wird Sie interessieren zu wissen, dass ich nun auch den letzten noch offenen Punkt in meiner Theorie der Schiefkörper erledigen konnte, den Nachweis der Invarianz meiner Normenrestsymbole auch für zusammengesetzten Grad. Dabei haben sich dann insgesamt folgende Sätze ergeben:

1.) Damit zwei zyklische Algebren (b, Z, S) und (b¢, Z¢, S¢) äquivalent sind (d.h. zum selben Schiefkörper gehören) ist notwendig und hinreichend, dass ihre Invarianten a_p und a_p¢ mod. 1 kongruent sind für jede Primstelle p des Grundkörpers. Dabei sind diese Invarianten für eine zyklische Algebra (b, Z, S) folgendermassen erklärt: Das Normenrestsymbol (\fracb,Zp) werde als Potenz S^a_p der Gruppenerzeugenden S dargestellt. Der Exponent e_p werde durch den Grad n des Körpers dividiert:

ap = ep : n.

Es sei ferner

ap = rp : mp,     (rp, mp) = 1

die reduzierte Darstellung der Invarianten.

2.) Das direkte Produkt zweier zyklischer Algebren mit den Invarianten a_p und a_p¢ ist einer zyklischen Algebra mit den Invarianten a_p + a_p¢ äquivalent.

3.) Der Index m einer zyklischen Algebra mit den Invarianten a_p fällt mit ihrem Exponenten zusammen und ist das kleinste gemeinsame Multiplum aller reduzierten Nenner m_p.

4.) Für eine zyklische Algebra mit den Invarianten a_p ist ein zyklischer Körper Z dann und nur dann Zerfällungskörper, wenn der Grad n von Z ein Vielfaches des Index m ist, und wenn für jedes p die Anzahl der verschiedenen Primteiler p in Z ein Teiler von n:m_p ist.

5.) Wenn eine einfache Algebra zu einer zyklischen Algebra äquivalent ist, so ist sie selbst zyklisch.

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Durch den letzten Satz insbesondere wird die grosse noch offene Frage, ob jede einfache Algebra zyklisch sei, zurückgeführt auf die Frage, ob für jede einfache Algebra auch nur ein zyklischer Zerfällungskörper existiert. ``Einfache Algebra'' ist dabei durchweg in bezug auf einen algebraischen Zahlkörper endlichen Grades als Zentrum gemeint.

Vielleicht ist es nicht uninteressant, wenn ich noch vermerke, dass der ``Normensatz'', dessen Beweis für zyklische Körper mir unter dem Zwang der Verhältnisse glücklich gelungen war, für nicht-zyklische Körper nicht allgemein stimmt. A. Scholz und ich haben unabhängig voneinander je ein Gegenbeispiel konstruiert, bei dem die absoluten Idealklassen eine Rolle spielen.

Hoffentlich können Sie mit Befriedigung auf Ihre Marburger Reise zurückblicken. Wir haben uns jedenfalls sehr über Ihren Besuch und Ihren so schönen Vortrag gefreut.

Mit herzlichen Grüssen, auch an Ihre verehrte Frau Gemahlin,

stets Ihr

H. Hasse